En las últimas tres exploraciones hemos hablado de aviones, de planes telefónicos y hasta hicimos ejercicio, todo esto para poder descubrir cada vez más aspectos de la función lineal. A lo largo de estas exploraciones hemos observado tanto de forma simbólica y algebraica como de forma gráfica, es decir, hemos logrado comprender esta función por medio de símbolos y por medio de líneas y puntos en el plano cartesiano. Ahora, vamos a ahondar todavía más sobre la relación entre estas representaciones.
¿Listos para iniciar una exploración llena de misterios y emoción?
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¡Empecemos!
Descubramos algunas relaciones entre las representaciones de la función lineal
Instrucciones: A continuación, se presenta un applet donde podrás observar la forma en que se comporta la gráfica de una función lineal según los valores de su pendiente (m) e intercepto en y (b). Para esto, debes mover los deslizadores y observar lo que ocurre con las rectas. A partir de esto, ¿qué relación crees que haya entre los valores de la pendiente y la gráfica de la función? y, ¿qué relaciones crees que haya entre el valor del intercepto en y y la gráfica?
Nota: para poder visualizar el applet de una mejor manera, se puede cambiar el zoom con el que se presenta y también se tiene la posibilidad de ampliar la pantalla, presionando el botón .
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Verifiquemos si las ideas anteriores están acertadas
El valor de la pendiente y del intercepto en y influyen en la gráfica de la función lineal de la siguiente manera (posiciona el cursor sobre cada botón para descubrirlo):
Pendiente positiva
m>0
La función es creciente
Pendiente negativa
m<0
La función es decreciente
Pendiente igual a cero
m=0
La función es constante
Intercepto en y
Representa a la segunda coordenada del par ordenado que es la intersección de la función con el eje y. Es decir, esta intersección se puede denotar como (0,b).
Intersecciones con los ejes
En exploraciones anteriores se descubrió el concepto de intersecciones con los ejes y se observó que, gráficamente, representan los puntos en los cuales la función "toca" a los ejes del plano cartesiano. Además, se discutió sobre el hecho de que, dependiendo del dominio de la función, esta puede intersecar a cero, uno o los dos ejes.
Ahora bien, también es posible determinar las intersecciones de una función lineal con los ejes del plano cartesiano sin necesidad de graficarla, para esto, se aplican algunos conocimientos vinculados con el cálculo de imágenes y preimágenes, el cual también se estudió anteriormente. Esto debido a que, como ya se destacó: de manera general, observe que, cuando se interseca al eje x el valor de la coordenada de y es cero, pues esto indica que se estaría sobre el eje x. Y, cuando se interseca al eje y, el valor de la coordenada de x debe ser cero, por la misma razón anterior.
Es decir, cuando se desea calcular la intersección de la gráfica de la función con el eje x, basta con determinar la preimagen de f(x)=y=0 y para establecer la intersección de la gráfica de la función con el eje y, solamente se debe determinar la imagen de x=0. Para que esto quede más claro, se presentan a continuación, dos ejemplos:
En resumen...
A partir de lo anterior y de exploraciones previas, se observa que las representaciones de la función lineal se encuentran relacionadas de manera directa. Es posible determinar aspectos como su dominio, intersecciones con los ejes, pendiente, intercepto en y, entre otros; a partir de ambas representaciones. Finalmente, se presenta un pequeño resumen de cómo expresar gráficamente una función a partir de su representación simbólica y viceversa. Para observarlo, solamente debe posicionarse sobre los respectivos botones.
Si el dominio es un conjunto con infinitos elementos, basta con identificar dos pares ordenados que pertenezcan al gráfico de la función, ubicarlos en el plano cartesiano y trazar la recta que los contenga, teniendo en cuenta el dominio de la función.
Si se tiene un dominio con un número finitio de elementos, entonces se deben ubicar los puntos correspondientes.
Recuerde que, para identificar dos pares ordenados del gráfico basta con seleccionar dos preimágenes (que pertenezcan al dominio) y calcular sus respectivas imágenes.
De la representación simbólica y algebraica a la gráfica
Una vez que se tiene la gráfica de la función lineal, basta con identificar dos puntos que pertenezcan a esta, establecer sus pares ordenados y, luego de esto, se puede definir el criterio por medio de las fórmulas de la pendiente y del intercepto en y estudiadas desde la primera exploración. Luego de esto, el dominio se define con base en la gráfica, pues recuerde que solamente se deben identificar los valores del eje x que poseen una imagen, es decir, que se encuentran asociados a otro valor del eje y. Además, si no se conoce el codominio, generalmente se suele establecer el conjunto de los números reales como tal.
De la representación gráfica a la simbólica.
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